Paradoxa de l’aniversari

Introducció:
La paradoxa de l’aniversari, tracta d’una teoria que es va descriure l’any 1938 al marc de la teoria d’estimació del total de població de peixos en un llac, de Zoe Emily Schnabel.
Imagineu que en un cert moment esteu amb un grup de persones, per exemple en una reunió familiar i hi han 25 persones. Planteja’t aquesta pregunta: quina probabilitat creieu que en aquest grup de persones hagi dues persones que compleixen els anys el mateix dia de el mateix mes? Segurament, la primera resposta serà: no ho sé, però segur que mínima.
La realitat, és que la probabilitat no és petita.
En una reunió de 23 persones escollides aleatòriament, la probabilitat que dues d’elles compleixin els anys el mateix dia de el mateix mes és de 0.507, és a dir, hi ha un 50,7% de possibilitats que hi hagi dues persones que compleixin els anys el mateix dia de el mateix mes.
Bàsicament el que ens diu aquest resultat és que en una reunió de 23 o més persones és més sorprenent que no hi hagi dos que coincideixin en aniversari que el fet que si les hi hagi, alguna cosa que tothom tendeix a no creure en un primer moment.


Demostració matemàtica:
El resultat no és una paradoxa matemàtica, és comprovable matemàticament. El qualificatiu de paradoxa li ve per el contrari que sembla a la intuïció.
Per calcular la probabilitat per a qualsevol nombre de persones n=< 365 (ja que si hi ha més de 365 la probabilitat és 1, la idea és calcular la probabilitat que no hi hagi dues persones que compleixin els anys el mateix dia. A aquesta probabilitat l’anomenarem p. Després calculem la probabilitat que hi hagi alguna realitzant l’operació 1-p. Calculem p (agafarem l’any amb 365 dies):
Prenem una de les persones del grup. Aquesta persona ha de complir els anys un cert dia. Prenem una altra de les persones. La probabilitat que aquesta nova persona no coincideixi en aniversari amb la primera és de 364/365. Si prenem una altra persona més, la probabilitat que no coincideixi amb cap de les anteriors és 363/365 . Prenent una altra més la probabilitat que no coincideixi amb cap de les anteriors és 362/365 i així successivament. Al ser successos independents, la probabilitat que ningú coincideixi és la multiplicació de totes aquestes probabilitats. Per n persones ens queda la següent expressió:

P=364/365 · 363/365 · 362/365 · …….. · (365 – n + 1 )/365

O així:

P= 365!/(365n· (365 – n!)

Si aquesta és la probabilitat que no hi hagi dues persones que coincideixin en el dia d’aniversari, la probabilitat que al menys hi hagi una parella que sí coincideixi serà 1-p. És a dir, la probabilitat que en una reunió de n persones n’hi ha dos que compleixen els anys el mateix dia i el mateix mes és:

1 – 365!/(365n· (365 – n!)

Numèricament i gràficament, les possibilitats que diferents grups de persones comparteixin aniversari són les següents:

La qüestió és que generalment cada persona tendeix a imaginar la probabilitat que, partint d’una persona concreta, hi hagi una altra que coincideixi en aniversari amb ella. La probabilitat d’això és molt baixa amb 23 persones. La clau és que hi ha multitud de possibles parelles que poden formar-se conforme anem augmentant el nombre de persones de el grup. Per això la probabilitat acaba sent tan alta en un grup tan petit.

Deixa un comentari

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

Esteu comentant fent servir el compte WordPress.com. Log Out /  Canvia )

Twitter picture

Esteu comentant fent servir el compte Twitter. Log Out /  Canvia )

Facebook photo

Esteu comentant fent servir el compte Facebook. Log Out /  Canvia )

S'està connectant a %s